ВОПРОС О ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЛА Pi При написании монографии по теме задачи античной математики Квадратура круга, - "Задача Квадратура круга. Два взгляда на проблему" я был вынужден, углубится в материалы по данной теме. Одной из книг, из перечня используемой при написании монографии литературы, была книга Ф. Рудио, «О квадратуре круга. С приложением истории вопроса» В данной книге освещена тема доказательства трансцендентности числа Pi. Исследуя данную тему, поневоле пришлось ее расширить и углубить в своей работе, несущей исследовательский характер. И так, перехожу к изложению данной темы, копируя страницы из своей книги. 9.1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЕЛ e И Pi НА ОСНОВЕ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА «Разрешением основного вопроса о том, являются ли числа e и Pi алгебраическими или трансцендентными наука обязана математикам Эрмиту и Линдеману. Прежде всего в 1873 г. Эрмит доказал трансцендентность основания натуральных логарифмов, т. е. обнаружил невозможность равенства вида: N1ex1 + N2ex2 + … + Nrexr = 0 где , суть отличные друг от друга, а - какие либо целые числа, причем последние числа не должны быть равны нулю. Исходя из этой основной работы, а именно пользуясь зависимостями между известными определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит, Линдеман в 1882 г. решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа Pi Этот результат был получен из предположения, которое можно рассматривать как обобщение первой из теорем Ламберта, указанных выше. Это предложение заключается в следующем: Если z есть корень, какого – нибудь неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэффициентами, то ez не может быть рациональным числом. Но по формуле Эйлера ePii = -1 , т. е. равно рациональному числу. Поэтому Pii а, следовательно, и само Pi не может быть корнем алгебраического уравнения указанного вида» [3, с. 86 – 87]. 9. 2. О ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА В тексте дана сноска на формулу Эйлера ePii = -1. Для ясности в данном вопросе, внесем в эту тему подробности: «В то время как раньше синус, косинус, тангенс, котангенс обозначали некоторые линии, связанные с дугой круга, Эйлер впервые стал определять эти выражения как отношения указанных линий к радиусу круга. Благодаря этому выражения , и т. д. приобрели совершенно иной характер: они стали аналитическими величинами, функциями z. Таким образом, Эйлер является творцом тригонометрических функций. Вместе с тем новая точка зрения на тригонометрические величины привела его к одному из его бесспорно прекраснейших открытий, а именно, к открытию замечательной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями. Эта зависимость выражается равенствами: cosz = (eiz +e-iz)/2, sinz = (eiz - e-iz)/2i, где ez есть показательная функция, определяемая постоянно сходящимся рядом: ez = 1 + z / 1 + z2 / (1*2) + z3 / (1*2*3) + … eiz = cos z + i sin z, e-iz = cos z – i sin z, Представляет собой исходный пункт всех позднейших исследований о природе числа Pi. Полагая в них z = Pi получаем: ePii = -1 или e2Pii = 1 Это основная зависимость между обоими числами e = 2,718 281 828 459 045… и Pi = 3,141 592 653 589 793… служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга» [3, с. 68 – 70]. 9. 3. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ВОПЛОЩЕНИИ А выражают ли на самом деле формулы ePii = -1 или e2Pii = 1 зависимость между числами e = 2,718 281 828 459 045… и Pi = 3,141 592 653 589 793…, если ”Pi“ выступает символом радианной меры угла, который равен 1800 в градусной мере угла, но не символом отношения длины окружности к диаметру равного 3,141 592 653 589 793… Формула Эйлера: eiz = cos z + i sin z, где z любое вещественное число. На рисунке 6 изображено геометрическое воплощение формулы Эйлера. Заметим, что аргументы тригонометрических функций и взяты в радианах. В частности eiPi = cos Pi + i sin Pi = cos1800 + i sin1800 А из того, что cos Pi = cos1800 = -1 и sin Pi = 1800 = 0 следует eiPi = -1 или ei180град. = -1 Из вышеизложенного видно, что Pi, - как отношение длины окружности к диаметру в формуле Эйлера eiPi = -1, не присутствует, а, следовательно, высказывание “ eiPi = -1 или e2iPi = -1. Это основная зависимость между обоими числами e = 2,718 281 828 459 045… и Pi = 3,141 592 653 589 793… служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга”, вызывает сомнение. Не софизм ли это, когда в формуле, доказывающей трансцендентность длины окружности, выступает радианная мера угла равная pi, что равно 1800, в градусной мере угла, а результат перенесен на длину окружности, имеющий тот же символ "pi". (При написании данного абзаца использована информация из интернет - источника): [10, Википедия,— ru.wikipedia/wiki/Формула_Эйлера]
|