ВОПРОС О ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЛА Pi

При  написании монографии по теме задачи античной математики Квадратура круга, - "Задача Квадратура круга. Два взгляда на проблему" я был вынужден, углубится в материалы по данной теме. Одной из книг, из перечня используемой при написании монографии литературы, была книга Ф. Рудио, «О квадратуре круга. С приложением истории вопроса»

В данной книге освещена тема доказательства трансцендентности числа Pi. Исследуя данную тему, поневоле пришлось ее расширить и углубить в своей работе, несущей исследовательский характер.

И так, перехожу к изложению данной темы, копируя страницы из своей книги.

9.1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЕЛ e И Pi

НА ОСНОВЕ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА

    «Разрешением основного вопроса о том, являются ли числа e и Pi алгебраическими или трансцендентными наука обязана математикам Эрмиту и Линдеману. Прежде всего в 1873 г. Эрмит доказал трансцендентность основания натуральных логарифмов,  т. е. обнаружил невозможность равенства вида:

N₁e^x1 + N₂e^x2 + … + N_re^xr = 0

где   , суть отличные друг от друга, а     - какие либо целые числа, причем последние числа не должны быть равны нулю.

     Исходя из этой основной работы, а именно пользуясь зависимостями между известными определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит,  Линдеман  в 1882 г. решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа Pi

     Этот результат был получен из предположения, которое можно рассматривать как обобщение первой из теорем Ламберта, указанных выше. Это предложение заключается в следующем:

     Если z есть корень, какого – нибудь  неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэффициентами, то e^z не может быть рациональным числом.

Но по формуле Эйлера 

e^Pii = -1 ,

т. е. равно рациональному числу.  Поэтому Pii а, следовательно, и само Pi не может быть корнем алгебраического  уравнения указанного вида» [3, с. 86 – 87]. 

9. 2. О ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА

     В тексте дана сноска на формулу Эйлера  e^Pii = -1.   Для ясности в данном вопросе,  внесем в эту тему подробности:  

     «В то время как раньше синус, косинус, тангенс,  котангенс обозначали некоторые линии, связанные с дугой круга, Эйлер впервые стал определять эти выражения как отношения указанных линий к радиусу круга. Благодаря этому выражения  ,    и т. д. приобрели совершенно иной характер: они стали аналитическими величинами, функциями z. Таким образом, Эйлер является творцом тригонометрических функций. Вместе с тем новая точка зрения на тригонометрические величины привела его к одному из его бесспорно прекраснейших открытий, а именно, к открытию замечательной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями.  Эта зависимость выражается равенствами:

cosz = (e^iz +e^-iz)/2, sinz = (e^iz - e^-iz)/2i,

где  e^z есть показательная функция, определяемая постоянно сходящимся рядом:

e^z  = 1 + z / 1 + z² / (1*2) + z³ / (1*2*3) + …

Здесь не место распространяться о том перевороте, которое  упомянутое открытие  произвело   во всей  математике.  Однако  нужно  заметить,   что  формулы Эйлера, которые могут быть написаны также в виде:

e^iz  = cos z + i sin z,  e^-iz  = cos z – i sin z,

     Представляет собой исходный пункт всех позднейших исследований о природе числа Pi.  Полагая в них z = Pi

получаем: e^Pii = -1  или e^2Pii = 1 Это основная зависимость между обоими числами    e = 2,718 281 828 459 045…

и Pi = 3,141 592 653 589 793… служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга» [3, с. 68 – 70].

9. 3.  ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ  ВОПЛОЩЕНИИ

     А выражают ли на самом деле формулы

  e^Pii = -1   или  e^2Pii = 1

 зависимость между числами e = 2,718 281 828 459 045…   и

Pi = 3,141 592 653 589 793…,  если ”Pi“  выступает  символом  радианной   меры угла, который  равен 180⁰  в градусной мере угла, но не символом отношения длины окружности к диаметру равного 3,141 592 653 589 793…

   Формула   Эйлера:

e^iz  = cos z + i sin z,

  где z любое вещественное число.

На  рисунке 6 изображено  геометрическое воплощение формулы Эйлера.

  Заметим, что аргументы тригонометрических функций  и  взяты в радианах.   В частности 

e^iPi = cos Pi + i sin Pi = cos180⁰ + i sin180⁰

А из того, что 

cos Pi = cos180⁰ = -1 и  sin Pi = 180⁰ = 0 

следует   

 e^iPi = -1  или  e^{i180град.} = -1

Из вышеизложенного видно, что Pi, - как отношение длины окружности к диаметру  в   формуле  Эйлера e^iPi = -1,   не  присутствует,  а, следовательно, высказывание “ e^iPi = -1 или  e^2iPi = -1.    Это основная зависимость между обоими  числами   e = 2,718 281 828 459 045…  и   Pi = 3,141 592 653 589 793…  служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга”,                                                              вызывает сомнение. Не софизм ли это, когда в формуле, доказывающей трансцендентность длины окружности, выступает радианная мера угла равная pi, что равно 180⁰, в градусной мере угла, а результат перенесен на длину окружности, имеющий тот же символ "pi".

(При написании данного абзаца использована информация из интернет - источника):

 [10,  Википедия,—  ru.wikipedia/wiki/Формула_Эйлера]